5 Ejemplo Aplicado Sumatoria Simple
Para ilustrar el uso de la notación sumatoria, se simulan los rendimientos de diez parcelas experimentales de maíz, expresados en kilogramos por planta. Los valores observados son los siguientes:
| i | \(y_i\) |
|---|---|
| 1 | 23 |
| 2 | 25 |
| 3 | 18 |
| 4 | 27 |
| 5 | 22 |
| 6 | 20 |
| 7 | 24 |
| 8 | 26 |
| 9 | 19 |
| 10 | 21 |
Total de observaciones: \(n = 10\)
5.1 Cálculo de la Suma Total de los Valores Observados
El primer paso consiste en sumar todos los valores observados, utilizando la notación sumatoria: \[ \large\sum_{i=1}^{10} y_i = 23 + 25 + 18 + 27 + 22 + 20 + 24 + 26 + 19 + 21 = 225 \]
5.2 Cálculo de la Media Muestral
La media muestral se obtiene dividiendo la suma total entre el número de observaciones ( n = 10 ): \[ \large\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{225}{10} = 22.5 \]
Esto significa que, en promedio, cada parcela produjo 22.5 kg por planta.
5.3 Cálculo de la Varianza Muestral
La varianza muestral mide la dispersión de los datos respecto a la media. Para calcularla, se sigue el siguiente procedimiento:
Se resta la media a cada valor observado (( \(y_i - \bar{y}\)).
Se eleva al cuadrado cada una de estas diferencias ( \((y_i - \bar{y})^2\)).
Se suman todos los cuadrados de las diferencias.
Finalmente, se divide esta suma entre \(n-1\) (en este caso, 9).
La tabla siguiente resume estos cálculos:
| \(i\) | \(y_i\) | \(y_i - \bar{y}\) | \((y_i - \bar{y})^2\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 23 | 0.5 | 0.25 |
| 2 | 25 | 2.5 | 6.25 |
| 3 | 18 | -4.5 | 20.25 |
| 4 | 27 | 4.5 | 20.25 |
| 5 | 22 | -0.5 | 0.25 |
| 6 | 20 | -2.5 | 6.25 |
| 7 | 24 | 1.5 | 2.25 |
| 8 | 26 | 3.5 | 12.25 |
| 9 | 19 | -3.5 | 12.25 |
| 10 | 21 | -1.5 | 2.25 |
Sumando la última columna: \[ \LARGE\sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2 = 82.5 \]
La varianza muestral se calcula así: \[ \LARGE\ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{82.5}{9} = 9.17 \]
Por lo tanto, la varianza muestral es 9.17 kg² por planta².